코시 정리 (군론)

군론에서 코시 정리(영어: Cauchy’s theorem)는 유한군의 크기의 소인수가 항상 어떤 원소의 위수라는 정리이다.^[1] 제1 쉴로브 정리의 특수한 경우이다.^[1]^:324

정의

코시 정리에 따르면, 만약 소수 $p$ 가 유한군 $G$ 의 크기 $|G|$ 의 소인수라면, $G$ 는 위수가 $p$ 인 원소를 갖는다.^[1]^:322

증명 1:

우선 $G$ 가 유한 아벨 군인 경우를 증명하자. 귀류법을 사용하여 $G$ 가 $p$ 차 원소를 가지지 않는다고 가정하자. 편의상 $G$ 가 최소 크기의 반례라고 하자. (즉, 크기가 $p$ 를 소인수로 하는, $G$ 보다 작은 크기의 모든 유한 아벨 군은 $p$ 차 원소를 갖는다.) 그렇다면 $G$ 는 순환군일 수 없다. (만약 $G$ 가 $g\in G$ 로 생성된 순환군이라면, $g^{|G|/p}$ 는 $G$ 의 $p$ 차 원소이며, 이는 모순이다.) 임의의 $1\neq g\in G$ 를 취하자. $H$ 가 $g$ 로 생성된 순환군이라고 하자. 그렇다면 $H\neq G$ 이며, $p$ 는 $g$ 의 위수 $|H|$ 의 약수가 아니다. (만약 $p\mid |H|$ 라면, $H$ 가 $p$ 차 원소를 가지므로 모순이다.) 따라서 $p\mid |G|/|H|$ 이며, 또한 $|G|/|H|<|G|$ 이므로, 몫군 $G/H$ 은 $p$ 차 원소 $kH$ ( $k\in G$ )를 가진다. 즉, $k\not \in H$ 이며 $k^{p}\in H$ 이다. 이제 $k^{|H|}\in G$ 가 $p$ 차 원소임을 보이자. 우선

(k^{|H|})^{p}=(k^{p})^{|H|}=1

이므로 $k^{|H|}$ 의 위수는 1 또는 $p$ 이다. 만약 $k^{|H|}$ 의 위수가 1이라면, 즉 $k^{|H|}=1$ 이라면, $p$ 와 $|H|$ 은 서로소이므로 $1=ap+b|H|$ 인 정수 $a,b$ 가 존재한다. 따라서

k=k^{ap+b|H|}=k^{ap}\in H

이며, 이는 모순이다. 즉, $k^{|H|}$ 의 위수는 $p$ 이다.

이제 $G$ 가 일반적인 유한군인 경우를 증명하자. 마찬가지로, $G$ 가 최소 크기의 반례라고 가정하자. (즉, 크기가 $p$ 를 소인수로 하는, $G$ 보다 작은 크기의 모든 유한군은 $p$ 차 원소를 갖는다.) $G$ 의 중심 $\operatorname {Z} (G)$ 은 $G$ 의 아벨 부분군을 이루므로, 위 증명에 따라 $\operatorname {Z} (G)\neq G$ 이며, 따라서 $p\nmid |{\operatorname {Z} (G)}|$ 이다. 켤레류 방정식

|G|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{g\in S}{\frac {|G|}{|{\operatorname {C} _{G}(g)}|}}

을 생각하자. 여기서 $S\subseteq G\setminus \operatorname {Z} (G)$ 는 크기가 1이 아닌 켤레류들의 대표 원소들의 집합이며, $\operatorname {C} _{G}(g)$ 는 $g$ 에 대한 $G$ 의 중심화 부분군이다. $p\mid |G|$ , $p\nmid |{\operatorname {Z} (G)}|$ 이므로, $p\mid |{\operatorname {C} _{G}(g)}|$ 인 $g\in S$ 가 존재한다. $|{\operatorname {C} _{G}(g)}|<|G|$ 이므로, $\operatorname {C} _{G}(g)$ 는 $p$ 차 원소를 가지며, 이는 모순이다.

증명 2:

$p$ 차 대칭군 $\operatorname {Sym} (p)$ 속의 순환 $\sigma =(1~2~\cdots ~p)$ 으로 생성된, 크기 $p$ 의 순환군은 집합

X=\{(g_{1},\dots ,g_{p})\in G^{p}\colon g_{1}\cdots g_{p}=1\}

위에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

\sigma \cdot (g_{1},\dots ,g_{p})=(g_{\sigma (1)},\dots ,g_{\sigma (p)})=(g_{2},\dots ,g_{p},g_{1})

궤도-안정자군 정리에 따라 이 군의 작용의 각 궤도의 크기는 1 또는 $p$ 이다. 크기 1의 궤도의 수는 $g^{p}=1$ 인 원소 $g\in G$ 의 수와 같다. 즉, $p$ 차 원소의 수와 1차 원소(항등원 $1\in G$ )의 수의 합이며, 특히 이는 양의 정수이다. $X$ 의 각 원소는 그 앞의 $p-1$ 개의 성분으로 유일하게 결정되므로, $|X|=|G|^{p-1}$ 이며, 이는 $p$ 의 배수이다. 또한, 궤도들은 $X$ 를 분할하므로, 크기 $p$ 의 궤도들의 수의 $p$ 배와 크기 1의 궤도들의 수의 합은 $|X|=|G|^{p-1}$ 이다. 따라서 크기 1의 궤도의 수 역시 $p$ 의 배수이며, 특히 $p$ 이상이다. 즉, 적어도 $p-1$ 개의 $p$ 차 원소가 존재한다.